算法其实并不是随着计算机的发明才出现的东西。例如，早在两千多年前，古希腊数学 家欧几里德就发明了一种求两个自然数的最大公约数的过程，这个过程被认为是史上第一个 算法②：

【欧几里德算法】

又如，我们在小学学习的竖式乘法、长除法等等其实也都是算法的例子，都是通过明确 定义的一步一步的过程来解决问题。

利用计算机解决问题的关键就在于设计出合适的算法，当今计算机在各行各业中的成功 应用从根本上说都取决于高效算法的发现。例如，数学家发明了“充电放电”算法，从而利 用计算机证明了著名的四色定理。又如，谷歌公司的创建者发明了更合理的网页相关性排名 算法，从而使 Google 成为最成功的搜索引擎。其他如 MP3 播放器等便携式电子产品依靠聪 明的音频视频压缩算法来节省存储空间，GPS 导航仪利用高效的最短路径算法来规划最短路 线等等，不一而足。

先看算法步骤的可操作性。从最底层来看，计算机指令集中的基本指令显然具有可操作 性，因为 CPU 确定无疑地能够执行这些指令。然而，由于用简单的机器指令来表达算法步骤 会使得算法琐碎冗长，不能凸显算法表达的解题逻辑，所以实际上我们会用更高级别的操作 来表达算法步骤。打个比方，如果在菜谱中使用非常细节化的指令，那么在很多菜的菜谱中 都会看到这样的步骤：

这种步骤虽然详细，但太琐碎了。几乎没有菜谱会在这样的细节级别上表达操作步骤，一般 都会将这个过程写做：

再以数学为例，“计算 b2 - 4ac”作为算法中的一个步骤显然是可操作的，没有必要细化 为“先计算 b2，再计算 4ac，再两者相减”的步骤；而“作一条平行于直线 AB 的直线”就 不是一个明确的步骤。至于“用尺规作图来三等分角ÐAOB”，则根本就是一个不可能做到的 操作，尽管其意义是明确的。

总之，在设计算法时，要选择合适的细节级别的步骤，不但要确保所有步骤处于计算机 能力范围之内，还应该使算法的读者容易理解算法的逻辑。

再看算法的有限性。只满足算法步骤的可操作性是不够的，一个合格的算法还必须能在 有限时间内执行完毕。例如，具备一点数论知识的人都知道“检查自然数 n 是不是质数”是 可行的步骤，例如可以逐个检查从 2 到 n/2 的自然数是不是 n 的因子。那我们能不能设计如 下“算法”来生成所有质数呢？

很遗憾，这不是一个合格的算法，因为自然数有无穷多个，导致“算法”的第 4 步是可

回答的一个基本问题：什么是可计算的？如果能够为某个问题找到算法，该问题就称为可计 算的。当然，如果没能找到算法，并不意味着该问题不可计算，那也许只是因为我们不够聪 明而已。事实上，计算机科学还从理论上对可计算性和计算复杂性进行分析。本书第 x 章会 告诉大家，有一些看似简单的问题实际上不存在算法，而另一些问题虽然有算法但需要天文 数字的时间和空间来完成计算，从而毫无实际价值。