字符串编辑距离

    1. 在给定位置上插入一个字符
    2. 替换任意字符
    3. 删除任意字符

    写一个程序，返回最小操作数，使得对源串进行这些操作后等于目标串，源串和目标串的长度都小于2000。

    此题常见的思路是动态规划，假如令dp[i][j] 表示源串S[0…i] 和目标串T[0…j] 的最短编辑距离，其边界：dp[0][j] = j，dp[i][0] = i，那么我们可以得出状态转移方程：

    • dp[i][j] =min{
      • dp[i-1][j] + 1 , S[i]不在T[0…j]中
      • dp[i-1][j-1] + 1/0 , S[i]在T[j]
      • dp[i][j-1] + 1 , S[i]在T[0…j-1]中

    }

    接下来，咱们重点解释下上述3个式子的含义

    • 关于dp[i-1][j] + 1, s.t. s[i]不在T[0…j]中的说明
      • s[i]没有落在T[0…j]中，即s[i]在中间的某一次编辑操作被删除了。因为删除操作没有前后相关性，不妨将其在第1次操作中删除。除首次操作时删除外，后续编辑操作是将长度为i-1的字符串，编辑成长度为j的字符串：即dp[i-1][j]。
      • 因此：dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1。
    • 关于dp[i-1][j-1] + 0/1, s.t. s[i] 在T[j]的说明
      • 若s[i]经过编辑，最终落在T[j]的位置。
      • 则要么s[i] == t[j]，s[i]直接落在T[j]。这种情况，编辑操作实际上是将长度为i-1的S’串，编辑成长度为j-1的T’串：即dp[i-1][j-1]；
      • 要么s[i] ≠ t[j]，s[i] 落在T[j]后，要将s[i]修改成T[j]，即在上一种情况的基础上，增加一次修改操作：即dp[i-1][j-1] + 1。

    换一个角度，其实就是字符串对齐的思路。例如把字符串“ALGORITHM”，变成“ALTRUISTIC”，那么把相关字符各自对齐后，如下图所示：

    把图中上面的源串S[0…i] = “ALGORITHM”编辑成下面的目标串T[0…j] = “ALTRUISTIC”，我们枚举字符串S和T最后一个字符s[i]、t[j]对应四种情况：（字符-空白）（空白-字符）(字符-字符)（空白-空白）。

    由于其中的（空白-空白）是多余的编辑操作。所以，事实上只存在以下3种情况：

    • 下面的目标串空白，即S + 字符X，T + 空白，S变成T，意味着源串要删字符
      • dp[i - 1, j] + 1
    • 上面的源串空白，S + 空白，T + 字符，S变成T，最后，在S的最后插入“字符”，意味着源串要添加字符
      • dp[i, j - 1] + 1
    • 上面源串中的的字符跟下面目标串中的字符不一样，即S + 字符X，T + 字符Y，S变成T，意味着源串要修改字符
      • dp[i - 1, j - 1] + (s[i] == t[j] ? 0 : 1)

    参考代码如下：

    2. int EditDistance(char *pSource, char *pTarget)
    3. {
    4.     int srcLength = strlen(pSource);
    5.     int targetLength = strlen(pTarget);
    6.     int i, j;
    7.     //边界dp[i][0] = i，dp[0][j] = j  
    8.     for (i = 1; i <= srcLength; ++i)
    9.     {
    10.         dp[i][0] = i;
    11.     for (j = 1; j <= targetLength; ++j)
    12.     {
    13.         dp[0][j] = j;
    14.     }
    15.     for (i = 1; i <= srcLength; ++i)
    16.     {
    17.         for (j = 1; j <= targetLength; ++j)
    18.         {
    19.             if (pSource[i - 1] == pTarget[j - 1])
    21.                 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
    22.             }
    23.             else
    24.             {
    25.                 dp[i][j] = 1 + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
    26.             }
    27.         }
    28.     }

    1、传统的编辑距离里面有三种操作，即增、删、改，我们现在要讨论的编辑距离只允许两种操作，即增加一个字符、删除一个字符。我们求两个字符串的这种编辑距离，即把一个字符串变成另外一个字符串的最少操作次数。假定每个字符串长度不超过1000，只有大写英文字母组成。

    2、有一亿个数，输入一个数，找出与它编辑距离在3以内的数，比如输入6（0110），找出0010等数，数是32位的。

    实际上，关于这个“编辑距离”问题在搜索引擎中有着重要的作用，如搜索引擎关键字查询中拼写错误的提示，如下图所示，当你输入“”后，因为没有这个单词“Jult”，所以搜索引擎猜测你可能是输入错误，进而会提示你是不是找“July”：
    5.2 字符串编辑距离 - 图1