复数和有理数

    在Julia中,全局常量 被绑定到复数 i，表示 -1 的主平方根。（不应使用数学家习惯的 i 或工程师习惯的 j 来表示此全局常量，因为它们是非常常用的索引变量名。）由于 Julia 允许数值字面量作为系数与标识符并置，这种绑定就足够为复数提供很方便的语法，类似于传统的数学记法：

    你可以对复数进行各种标准算术操作：

    1. julia> (1 + 2im)*(2 - 3im)
    2. 8 + 1im
    4. julia> (1 + 2im)/(1 - 2im)
    5. -0.6 + 0.8im
    7. julia> (1 + 2im) + (1 - 2im)
    8. 2 + 0im
    10. julia> (-3 + 2im) - (5 - 1im)
    11. -8 + 3im
    13. julia> (-1 + 2im)^2
    14. -3 - 4im
    16. julia> (-1 + 2im)^2.5
    17. 2.729624464784009 - 6.9606644595719im
    19. julia> (-1 + 2im)^(1 + 1im)
    20. -0.27910381075826657 + 0.08708053414102428im
    22. julia> 3(2 - 5im)
    23. 6 - 15im
    25. julia> 3(2 - 5im)^2
    26. -63 - 60im
    28. julia> 3(2 - 5im)^-1.0
    29. 0.20689655172413796 + 0.5172413793103449im

    类型提升机制也确保你可以使用不同类型的操作数的组合：

    1. julia> 2(1 - 1im)
    2. 2 - 2im
    4. julia> (2 + 3im) - 1
    5. 1 + 3im
    7. julia> (1 + 2im) + 0.5
    8. 1.5 + 2.0im
    10. julia> (2 + 3im) - 0.5im
    11. 2.0 + 2.5im
    13. julia> 0.75(1 + 2im)
    14. 0.75 + 1.5im
    16. julia> (2 + 3im) / 2
    17. 1.0 + 1.5im
    19. julia> (1 - 3im) / (2 + 2im)
    20. -0.5 - 1.0im
    22. julia> 2im^2
    23. -2 + 0im
    25. julia> 1 + 3/4im
    26. 1.0 - 0.75im

    注意 3/4im == 3/(4im) == -(3/4im)，因为文本系数比除法的优先级更高。

    Julia 提供了一些操作复数的标准函数：

    1. 1 + 2im
    3. julia> real(1 + 2im) # z 的实部
    4. 1
    6. julia> imag(1 + 2im) # z 的虚部
    7. 2
    9. julia> conj(1 + 2im) # z 的复共轭
    10. 1 - 2im
    12. julia> abs(1 + 2im) # z 的绝对值
    13. 2.23606797749979
    15. julia> abs2(1 + 2im) # 取平方后的绝对值
    16. 5
    18. julia> angle(1 + 2im) # 以弧度为单位的相位角
    19. 1.1071487177940904

    按照惯例，复数的绝对值（）是从零点到它的距离。abs2 给出绝对值的平方，作用于复数上时非常有用，因为它避免了取平方根。 返回以弧度为单位的相位角（这也被称为辐角函数）。所有其它的初等函数在复数上也都有完整的定义：

    1. julia> sqrt(1im)
    2. 0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im
    4. julia> sqrt(1 + 2im)
    5. 1.272019649514069 + 0.7861513777574233im
    7. julia> cos(1 + 2im)
    8. 2.0327230070196656 - 3.0518977991518im
    10. julia> exp(1 + 2im)
    11. -1.1312043837568135 + 2.4717266720048188im
    13. julia> sinh(1 + 2im)
    14. -0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im
    1. julia> sqrt(-1)
    2. ERROR: DomainError with -1.0:
    3. sqrt will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt(Complex(x)).
    4. Stacktrace:
    5. [...]
    7. julia> sqrt(-1 + 0im)
    8. 0.0 + 1.0im

    从变量构建复数时，不再适用。相反地，乘法必须显式地写出：

    然而，我们并不推荐这样做，而应改为使用更高效的 complex 函数直接通过实部与虚部构建一个复数值：

    1. julia> a = 1; b = 2; complex(a, b)
    2. 1 + 2im

    这种构建避免了乘法和加法操作。

    和 NaN 可能出现在复数的实部和虚部，正如章节所描述的：

    1. julia> 1 + Inf*im
    2. 1.0 + Inf*im
    4. julia> 1 + NaN*im
    5. 1.0 + NaN*im

    有理数

    Julia 有一个用于表示整数精确比值的分数类型。分数通过 // 运算符构建：

    1. julia> 2//3
    2. 2//3

    如果一个分数的分子和分母含有公因子，它们会被约分到最简形式且分母非负：

    1. julia> 6//9
    2. 2//3
    4. julia> -4//8
    5. -1//2
    7. julia> 5//-15
    9. julia> -4//-12
    10. 1//3
    1. julia> numerator(2//3)
    2. 2
    4. julia> denominator(2//3)
    5. 3

    分子和分母的直接比较通常是不必要的，因为标准算术和比较操作对分数值也有定义：

    分数可以很容易地转换成浮点数：

    1. julia> float(3//4)
    2. 0.75

    对任意整数值 a 和 b（除了 a == 0 且 b == 0 时），从分数到浮点数的转换遵从以下的一致性：

    1. julia> a = 1; b = 2;
    3. julia> isequal(float(a//b), a/b)
    4. true

    Julia接受构建无穷分数值：

    1. julia> 5//0
    2. 1//0
    4. julia> -3//0
    5. -1//0
    7. julia> typeof(ans)
    8. Rational{Int64}

    但不接受试图构建一个 分数值：

    1. julia> 0//0
    2. ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
    3. Stacktrace:
    4. [...]

    像往常一样，类型提升系统使得分数可以轻松地同其它数值类型进行交互：

    1. julia> 3//5 + 1
    2. 8//5
    4. julia> 3//5 - 0.5
    5. 0.09999999999999998
    7. julia> 2//7 * (1 + 2im)
    8. 2//7 + 4//7*im
    10. julia> 2//7 * (1.5 + 2im)
    11. 0.42857142857142855 + 0.5714285714285714im
    13. julia> 3//2 / (1 + 2im)
    14. 3//10 - 3//5*im
    16. julia> 1//2 + 2im
    17. 1//2 + 2//1*im
    19. julia> 1 + 2//3im
    20. 1//1 - 2//3*im
    22. julia> 0.5 == 1//2
    23. true
    25. julia> 0.33 == 1//3
    26. false
    28. julia> 0.33 < 1//3
    29. true